スキー
明日、一日スキーへ行きます。白馬岩岳です。
一日だと泊まりを意識しなくてもいいところが気楽ですね。
まあ、疲れるだろうけど。
しかも、翌日金曜にもゼミと来てる。
今日は、宇宙論ゼミで自分が発表。
今日のセクションは、「SMを越えて」ということで見る人が見るとちょっといかがわしい。
数百GeVを越えると、SMでは物足りなくなるとか書くとさらにいかがわしくていけない。
もちろん、SMといったら素粒子標準模型(Standard Model)のことである。
実際、内容もいかがわしいといったらいかがわしい。
SMの拡張として、GUT(大統一理論)やSUSY（超対称性、super symmetry）やらを考えるが、
これらはまだ確認されていない。LHCで結果が出れば、数年後には分かるだろう。
GUTやSUSYを用いると、DMやバリオン非対称性が説明できる。ということが書いてある。
とりあえず今日は、GUTやSUSYを"天下り的に"紹介したところで終わった。５ページしか進んでない(オイ
WINPsとかMSSMとか聞いたことがあるが良く分からない用語の意味がやっと分かった。
しかし、SUGRA(super gravity)が局所SUSYのこととは知らなかった。
SUSYはfermionとbosonを関係させる対称性。
fermionとbosonを入れ替えると聞いて、意味が分からないが、GUTとかやっていくと、ごく自然な対称性に見えるらしい。
俺の知識ではまだあまり自然ではないが。
SUSYとかSUGRAも勉強すべきかなぁ。
さて、いまからプラズマのゼミに行って、それからタクシーに乗って集合場所へ行かねばなりませぬ。
一日だと泊まりを意識しなくてもいいところが気楽ですね。
まあ、疲れるだろうけど。
しかも、翌日金曜にもゼミと来てる。
今日は、宇宙論ゼミで自分が発表。
今日のセクションは、「SMを越えて」ということで見る人が見るとちょっといかがわしい。
数百GeVを越えると、SMでは物足りなくなるとか書くとさらにいかがわしくていけない。
もちろん、SMといったら素粒子標準模型(Standard Model)のことである。
実際、内容もいかがわしいといったらいかがわしい。
SMの拡張として、GUT(大統一理論)やSUSY（超対称性、super symmetry）やらを考えるが、
これらはまだ確認されていない。LHCで結果が出れば、数年後には分かるだろう。
GUTやSUSYを用いると、DMやバリオン非対称性が説明できる。ということが書いてある。
とりあえず今日は、GUTやSUSYを"天下り的に"紹介したところで終わった。５ページしか進んでない(オイ
WINPsとかMSSMとか聞いたことがあるが良く分からない用語の意味がやっと分かった。
しかし、SUGRA(super gravity)が局所SUSYのこととは知らなかった。
SUSYはfermionとbosonを関係させる対称性。
fermionとbosonを入れ替えると聞いて、意味が分からないが、GUTとかやっていくと、ごく自然な対称性に見えるらしい。
俺の知識ではまだあまり自然ではないが。
SUSYとかSUGRAも勉強すべきかなぁ。
さて、いまからプラズマのゼミに行って、それからタクシーに乗って集合場所へ行かねばなりませぬ。
ゲージ変換と接続
昨日、図書館で考えていたら、ようやくゲージ変換がつかめた(気がする)のでまとめてみようと思う。
今日は学校行く前に、Civ4を速さ”マラソン”で始めたら、ひどい目にあった。
もちろん、ゲームはすばらしかった。
我がフリードリヒ大王率いるドイチュ帝國は、エジプト、スペインを始めとしてつぎつぎとライバルを撃破し、ついには世界の半分以上にわたる大帝国を築き上げ、その領土は(現実と違って)日の沈まぬ帝國となったり、制覇勝利をなしたのであった。
犠牲は多かった。しかし、耐え難きを耐え、忍び難きを忍びである。
たとえば、私の学校へ行く時間とか、飯食う時間とかさまざまなものが犠牲になった。
ようするに、朝から今までやってたんである。
OTL。。。。
※この駄文を読む方がいたら、微分幾何とゲージ場の理論を多少知っておられる幸せになれるのではないかと思います。
さて、
ゲージ変換とは、接続とはなんだろうかと考えていたが、
これらはなんとか繋ぐことができそうだ。
イメージとしてはこんな感じ。
・一斉ゲージ変換：ほんとに何もしない。単なる基底の取替え。
・局所ゲージ変換：ゲージ空間の実空間上の繋がり方を変える。接続を変える！
・接続：自分のとこ(x)にあるゲージ空間とお隣(x+dx)にあるゲージ空間との繋がりを与える。
ゲージ変換とは、ある多自由度の波動関数の空間{Φ(i)}i=1〜n
での回転を表している。
そして、その回転の自由度は現実の物理には現れてこない。
つまり、変換に対し、Lagrangian L=1/2 |∇μΦ|^2-m/2 |Φ|^2 +tr(FF)
は変わらないということだ。
ここで注意すべきなのが、∇μが接続であるということ。
これは考えている場がバンドルであるので入れなければならない（と思う。）
つまり、各点の場の空間同士のつながりが”自明でない”可能性があるので微分は共変微分でないといけない。でなければ方向微分にならない。
結局、現実には"量子場の"回転の自由度という余分な自由度が付け加わっている。
この自由度は(物理が変わらないから)観測することができないが、量子場を空間の中でで”平行移動で回して”その「歪み」を観測することはできる。
この歪みこそが場の強さFであり、微分幾何でいえば曲率Rとなる。
で、そもそも考え始めた疑問はなんだったかというと、
Mukhanovで、ゲージ場Aμがゲージ変換群Gのリー環だ、と書いてあったのがよく分からなかった。
そもそも、微分にAμを足す心が実はいまだによく分かっていないのが問題だったのだ。
つまり、もともと、ゲージ場はΦ(i)が"局所"ゲージ変換で変わってもLagrangianが不変なように、
微分をただの偏微分∂μからDμ＝∂μ + ieAμと付け加えたものだ。
初めて習った当時は、こんなのから電磁場が出るんだーへーすげー。
とか感動していたけど、よく考えると結構適当感がある。
付け加えるとか、何をしているのかよく分からない。
しかし、これを微分幾何の心で見てみよう。
まずは微分幾何の復習から。
多様体Mの上で方向微分の集合を考えることで各点p毎に接ベクトル空間TpMが張れた。
この時点ではある点接空間とお隣の接空間はそれぞればらばらに定義されていてつながり方は決まっていない。
つまり、ある点(x)での接ベクトルを"平行移動"したら、隣の点(x+dx)でどんなベクトルになるかは、
「別途」決めなくてはいけない。
この「つながり方」と「平行移動」の決め方が曲者で、ちゃんと平行移動しているように見えるようににつながないといけない。
それが、接続である。
接続∇は、TpM×TpMからTpMへの双線形写像で微分の法則(ライプニッツ則)を満たすもの。
この接続が方向微分の一般化つまり、平行移動の一般化になっている。
時空が平坦ならばこの接続は普通の方向微分∂μでいい。
実は、この接続∇はこの性質だけでは一意に決まらない。
なにが余分なのかは前回議論したとおりよく分からないが、今回はそれは置いておく。
で、時空が曲がっている場合、接続∇はただの方向微分∂μからずれる。
その双線形性から、「ずれ」は基底がどうずれるのかから全て決定できる。
つまり、ベクトル空間の基底を｛Eμ｝とすると、
「Eμの方向へEνを動かしたら、Eλの方向へどれだけずれるか」
という情報だけで接続が書ける。これをΓλμνと書くと、(λは上付きな気分)
Γλμν ＝ （Eλ、∇(Eν)Eμ） ※（、）は内積。
となる。
ここで注意してほしいのは、Γλμνのうちのλとν。
これは、基底の変換行列になっている。(νをλに変える)
だから、4×4の正方行列(空間次元)を使って、Γμと書こう。（太字は行列だという気持ち）
すると、∇＝∂μ＋Γμ と書ける。
ゲージ場っぽくなってきたと思う。
とここまでは、普通の微分幾何の話。
話をゲージ理論に戻そう。
今までは、接空間を接空間に沿って移動したらどう回るかという話。
今からは、波動関数の空間Xｐ｛Φ(i)｝を接空間に沿って(←ここ重要)移動したらどう回るかという話。
つまり、接続（みたいなもの）としては、
TpM×TpM→TpM
が、
Xｐ×TpM→Xp
になる。
Xｐは実空間からまったく浮いた空間なので、今回の接続は空間の幾何とはまったく関係ない。
すくなくとも、さっきの接続とは独立にきまる。
いま、Xpだけがあるとすると、状況はTpMだけが与えられたときと同じである。
つながり方、平行移動の仕方を決めなきゃいけない。
さっきの接続は、空間の曲がりとは独立に決めることはできなかったが今回はまったく自由である。
さっきと同じ様につながり方はΓμで決まる。
ただし、今回基底は実空間の基底{Eμ}とXｐの基底｛Φ(i)｝が必要で、
Γμは、ｎ×ｎ(波動関数の成分の次元)行列。
成分で書けば、Γμ＝(Γjμi) i,j=1〜n
やっとここまできた。
今回示したかったのはこの行列が、ゲージ群のリー代数になるということだった（と思う）
それを考えるにはまず、どういう接続があるかを考えてみればいい。
まず、もっとも自明なつながり。
素直に全部平行につなげる。
点xでの基底Φ(i)のお隣の点x+dxでの成分をみると同じくΦ(i)になってるような接続。
ようするに、Γμ＝0。
じゃあ、これを局所ゲージ変換U(x)∈G（GとしてU(n)を考えてる)で回してやったらどう変わるのか、
当然つながりが歪む。
Φ(x) → Φ'(x) = U（ｘ）Φ(x) と回そう。
今まで、Φ(x+dx) = Φ(x) ※Φ(x+dx)はΦ(x)をdxに平行移動してやったもの
だったのが、U(x+dx)を掛けて、
U(x+dx)Φ(x+dx) = U(x+dx)(U(x)^-1)U(x)Φ(x)
= U(x+dx)(U(x)^-1) Φ'(x)
= Φ'(x) + dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x)
左辺＝Φ'(x+dx)=Φ'(x) + dΦ'(x)
となるので、
結局、今まで平行移動のずれdΦ(x)=0だったのが、
dΦ'(x) = dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x) のずれができる。
つまり、局所ゲージ変換で空間の繋がりがねじれた。
このとき、Γμは
Γμ = (∂μU)(U^-1)
ここで、(∂μU(x))(U(x)^-1)は、V(y)=U(y)(U(x)^-1)という単位元(y=x))を通る曲線の微分であるから、Gのリー代数の元である。
もともと、接続∇μ＝∂μ＋Aμがあったとしても、
この意味は、
Φ(x+dx)=Φ(x)+(AμΦ(x))dxμ
だから、U(x)で回してやったら、同様にU(x+dx)を掛けてやって、
dΦ'(x) = U(x+dx)(Φ(x) + AμΦ(x))dxμ - Φ(x)
= U(x)(AμΦ(x))dxμ + dUΦ(x)
= U(x)Aμ(U(x)^-1)dxμ Φ'(x) + ∂μU(x)(U(x)^-1)dxμ Φ'(x)
新しい接続をA'μであらわしてやると、
A'μ = U(x)Aμ(U(x)^-1) + ∂μU(x)(U(x)^-1)
と、リー代数の元だけずれる。第一項は相似変換であるから、Aμがリー代数の元ならリー代数の元に移す。
こうして、任意の量子場の空間の接続は、自明な接続とゲージ変換U(x)で移れる限り、またまたリー代数の元となる。
問題は、どんな接続も自明な接続に移れるかだが、
で、ある接続が与えられたとしたら、各点各点で回してやって向きをそろえてやれば、問題ないでしょう。
問題は、向きをそろえたときに、U(x)がどっかで不連続になる場合。
多分、こういうときに位相的な相転移が起こって、フェルミオン数とかが変わるんじゃまい。
まあ、こんなところで。
今日は学校行く前に、Civ4を速さ”マラソン”で始めたら、ひどい目にあった。
もちろん、ゲームはすばらしかった。
我がフリードリヒ大王率いるドイチュ帝國は、エジプト、スペインを始めとしてつぎつぎとライバルを撃破し、ついには世界の半分以上にわたる大帝国を築き上げ、その領土は(現実と違って)日の沈まぬ帝國となったり、制覇勝利をなしたのであった。
犠牲は多かった。しかし、耐え難きを耐え、忍び難きを忍びである。
たとえば、私の学校へ行く時間とか、飯食う時間とかさまざまなものが犠牲になった。
ようするに、朝から今までやってたんである。
OTL。。。。
※この駄文を読む方がいたら、微分幾何とゲージ場の理論を多少知っておられる幸せになれるのではないかと思います。
さて、
ゲージ変換とは、接続とはなんだろうかと考えていたが、
これらはなんとか繋ぐことができそうだ。
イメージとしてはこんな感じ。
・一斉ゲージ変換：ほんとに何もしない。単なる基底の取替え。
・局所ゲージ変換：ゲージ空間の実空間上の繋がり方を変える。接続を変える！
・接続：自分のとこ(x)にあるゲージ空間とお隣(x+dx)にあるゲージ空間との繋がりを与える。
ゲージ変換とは、ある多自由度の波動関数の空間{Φ(i)}i=1〜n
での回転を表している。
そして、その回転の自由度は現実の物理には現れてこない。
つまり、変換に対し、Lagrangian L=1/2 |∇μΦ|^2-m/2 |Φ|^2 +tr(FF)
は変わらないということだ。
ここで注意すべきなのが、∇μが接続であるということ。
これは考えている場がバンドルであるので入れなければならない（と思う。）
つまり、各点の場の空間同士のつながりが”自明でない”可能性があるので微分は共変微分でないといけない。でなければ方向微分にならない。
結局、現実には"量子場の"回転の自由度という余分な自由度が付け加わっている。
この自由度は(物理が変わらないから)観測することができないが、量子場を空間の中でで”平行移動で回して”その「歪み」を観測することはできる。
この歪みこそが場の強さFであり、微分幾何でいえば曲率Rとなる。
で、そもそも考え始めた疑問はなんだったかというと、
Mukhanovで、ゲージ場Aμがゲージ変換群Gのリー環だ、と書いてあったのがよく分からなかった。
そもそも、微分にAμを足す心が実はいまだによく分かっていないのが問題だったのだ。
つまり、もともと、ゲージ場はΦ(i)が"局所"ゲージ変換で変わってもLagrangianが不変なように、
微分をただの偏微分∂μからDμ＝∂μ + ieAμと付け加えたものだ。
初めて習った当時は、こんなのから電磁場が出るんだーへーすげー。
とか感動していたけど、よく考えると結構適当感がある。
付け加えるとか、何をしているのかよく分からない。
しかし、これを微分幾何の心で見てみよう。
まずは微分幾何の復習から。
多様体Mの上で方向微分の集合を考えることで各点p毎に接ベクトル空間TpMが張れた。
この時点ではある点接空間とお隣の接空間はそれぞればらばらに定義されていてつながり方は決まっていない。
つまり、ある点(x)での接ベクトルを"平行移動"したら、隣の点(x+dx)でどんなベクトルになるかは、
「別途」決めなくてはいけない。
この「つながり方」と「平行移動」の決め方が曲者で、ちゃんと平行移動しているように見えるようににつながないといけない。
それが、接続である。
接続∇は、TpM×TpMからTpMへの双線形写像で微分の法則(ライプニッツ則)を満たすもの。
この接続が方向微分の一般化つまり、平行移動の一般化になっている。
時空が平坦ならばこの接続は普通の方向微分∂μでいい。
実は、この接続∇はこの性質だけでは一意に決まらない。
なにが余分なのかは前回議論したとおりよく分からないが、今回はそれは置いておく。
で、時空が曲がっている場合、接続∇はただの方向微分∂μからずれる。
その双線形性から、「ずれ」は基底がどうずれるのかから全て決定できる。
つまり、ベクトル空間の基底を｛Eμ｝とすると、
「Eμの方向へEνを動かしたら、Eλの方向へどれだけずれるか」
という情報だけで接続が書ける。これをΓλμνと書くと、(λは上付きな気分)
Γλμν ＝ （Eλ、∇(Eν)Eμ） ※（、）は内積。
となる。
ここで注意してほしいのは、Γλμνのうちのλとν。
これは、基底の変換行列になっている。(νをλに変える)
だから、4×4の正方行列(空間次元)を使って、Γμと書こう。（太字は行列だという気持ち）
すると、∇＝∂μ＋Γμ と書ける。
ゲージ場っぽくなってきたと思う。
とここまでは、普通の微分幾何の話。
話をゲージ理論に戻そう。
今までは、接空間を接空間に沿って移動したらどう回るかという話。
今からは、波動関数の空間Xｐ｛Φ(i)｝を接空間に沿って(←ここ重要)移動したらどう回るかという話。
つまり、接続（みたいなもの）としては、
TpM×TpM→TpM
が、
Xｐ×TpM→Xp
になる。
Xｐは実空間からまったく浮いた空間なので、今回の接続は空間の幾何とはまったく関係ない。
すくなくとも、さっきの接続とは独立にきまる。
いま、Xpだけがあるとすると、状況はTpMだけが与えられたときと同じである。
つながり方、平行移動の仕方を決めなきゃいけない。
さっきの接続は、空間の曲がりとは独立に決めることはできなかったが今回はまったく自由である。
さっきと同じ様につながり方はΓμで決まる。
ただし、今回基底は実空間の基底{Eμ}とXｐの基底｛Φ(i)｝が必要で、
Γμは、ｎ×ｎ(波動関数の成分の次元)行列。
成分で書けば、Γμ＝(Γjμi) i,j=1〜n
やっとここまできた。
今回示したかったのはこの行列が、ゲージ群のリー代数になるということだった（と思う）
それを考えるにはまず、どういう接続があるかを考えてみればいい。
まず、もっとも自明なつながり。
素直に全部平行につなげる。
点xでの基底Φ(i)のお隣の点x+dxでの成分をみると同じくΦ(i)になってるような接続。
ようするに、Γμ＝0。
じゃあ、これを局所ゲージ変換U(x)∈G（GとしてU(n)を考えてる)で回してやったらどう変わるのか、
当然つながりが歪む。
Φ(x) → Φ'(x) = U（ｘ）Φ(x) と回そう。
今まで、Φ(x+dx) = Φ(x) ※Φ(x+dx)はΦ(x)をdxに平行移動してやったもの
だったのが、U(x+dx)を掛けて、
U(x+dx)Φ(x+dx) = U(x+dx)(U(x)^-1)U(x)Φ(x)
= U(x+dx)(U(x)^-1) Φ'(x)
= Φ'(x) + dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x)
左辺＝Φ'(x+dx)=Φ'(x) + dΦ'(x)
となるので、
結局、今まで平行移動のずれdΦ(x)=0だったのが、
dΦ'(x) = dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x) のずれができる。
つまり、局所ゲージ変換で空間の繋がりがねじれた。
このとき、Γμは
Γμ = (∂μU)(U^-1)
ここで、(∂μU(x))(U(x)^-1)は、V(y)=U(y)(U(x)^-1)という単位元(y=x))を通る曲線の微分であるから、Gのリー代数の元である。
もともと、接続∇μ＝∂μ＋Aμがあったとしても、
この意味は、
Φ(x+dx)=Φ(x)+(AμΦ(x))dxμ
だから、U(x)で回してやったら、同様にU(x+dx)を掛けてやって、
dΦ'(x) = U(x+dx)(Φ(x) + AμΦ(x))dxμ - Φ(x)
= U(x)(AμΦ(x))dxμ + dUΦ(x)
= U(x)Aμ(U(x)^-1)dxμ Φ'(x) + ∂μU(x)(U(x)^-1)dxμ Φ'(x)
新しい接続をA'μであらわしてやると、
A'μ = U(x)Aμ(U(x)^-1) + ∂μU(x)(U(x)^-1)
と、リー代数の元だけずれる。第一項は相似変換であるから、Aμがリー代数の元ならリー代数の元に移す。
こうして、任意の量子場の空間の接続は、自明な接続とゲージ変換U(x)で移れる限り、またまたリー代数の元となる。
問題は、どんな接続も自明な接続に移れるかだが、
で、ある接続が与えられたとしたら、各点各点で回してやって向きをそろえてやれば、問題ないでしょう。
問題は、向きをそろえたときに、U(x)がどっかで不連続になる場合。
多分、こういうときに位相的な相転移が起こって、フェルミオン数とかが変わるんじゃまい。
まあ、こんなところで。
微分形式のお勉強をした。
「微分形式の幾何学」をざっと読んでみた。
微分形式に対する理解が多少高まった気もする。
完全形式(全微分)は閉形式。
閉形式が完全形式になるかどうかは(全微分できるかどうか)、考えている空間の形状による。
実は、閉形式を完全形式で割ったものは空間のコホモロジーに等しい。
つまり、閉形式＝完全形式＋コホモロジー
完全形式で割った余りがコホモロジー。
これがゼロ(穴が開いてなければ)ならば、全微分可能。
ホモロジーとコ・ホモロジーは双対の関係。
ホモロジーとコホモロジーは微分形式のコホモロジー(de Rham コホモロジー)と同値(de Rhamの定理)でどちらも、多様体の大局的な構造を決めている？
結局、ベクトルバンドルのつながり具合曲がり具合を決めるのが接続。
接続を決めると曲率が決まる。
で、曲がり具合は計量を入れることで決めることができる。
計量と整合し、Tortionがゼロになるような接続は一つしかなく、Levi-Civita接続と呼ぶ。
微分形式上のある不変多項式をきめると、それからコホモロジー類が一つきまる。
それは、接続のとり方によらない。
これを特性類という。
たしかホモロジーとかコホモロジーとかってのは穴の数を図るものだから、特性類というのは穴を一つ選ぶのに対応しているのか？
だとするとそれは空間のつながり具合であって、曲がり具合ではない気がするな。
やはり、曲がり具合と接続の選び方の関係は、Cartanの(第一)構造方程式の意味を理解すべきかもしれない。
Cartanの構造方程式は二つあって、
１、接続からトーションを与える。
２、接続から曲率を与える。
２はただの曲率の定義式。
１というのはつまり、各点の接空間の基底(tetrad) {e(i)} i=1〜n
に対し、以下の2-formの式が成り立つ。
T(i) = de(i) + w(ij) Λ e(j)
Tortion free:T(i)=0
とは、w(ij)Λe(j)がe(i)の外微分となることを意味する。
w(ij)=だから、
基底を、動かす方向に関係がありそうだが・・・。
そういえば、リー代数の本(Georgi)を読んでいてようやくヤング図を理解した。
概念的には結構簡単。
理解しようとするモチベーションが必要だっただけか。
微分形式に対する理解が多少高まった気もする。
完全形式(全微分)は閉形式。
閉形式が完全形式になるかどうかは(全微分できるかどうか)、考えている空間の形状による。
実は、閉形式を完全形式で割ったものは空間のコホモロジーに等しい。
つまり、閉形式＝完全形式＋コホモロジー
完全形式で割った余りがコホモロジー。
これがゼロ(穴が開いてなければ)ならば、全微分可能。
ホモロジーとコ・ホモロジーは双対の関係。
ホモロジーとコホモロジーは微分形式のコホモロジー(de Rham コホモロジー)と同値(de Rhamの定理)でどちらも、多様体の大局的な構造を決めている？
結局、ベクトルバンドルのつながり具合曲がり具合を決めるのが接続。
接続を決めると曲率が決まる。
で、曲がり具合は計量を入れることで決めることができる。
計量と整合し、Tortionがゼロになるような接続は一つしかなく、Levi-Civita接続と呼ぶ。
微分形式上のある不変多項式をきめると、それからコホモロジー類が一つきまる。
それは、接続のとり方によらない。
これを特性類という。
たしかホモロジーとかコホモロジーとかってのは穴の数を図るものだから、特性類というのは穴を一つ選ぶのに対応しているのか？
だとするとそれは空間のつながり具合であって、曲がり具合ではない気がするな。
やはり、曲がり具合と接続の選び方の関係は、Cartanの(第一)構造方程式の意味を理解すべきかもしれない。
Cartanの構造方程式は二つあって、
１、接続からトーションを与える。
２、接続から曲率を与える。
２はただの曲率の定義式。
１というのはつまり、各点の接空間の基底(tetrad) {e(i)} i=1〜n
に対し、以下の2-formの式が成り立つ。
T(i) = de(i) + w(ij) Λ e(j)
Tortion free:T(i)=0
とは、w(ij)Λe(j)がe(i)の外微分となることを意味する。
w(ij)=
基底を、動かす方向に関係がありそうだが・・・。
そういえば、リー代数の本(Georgi)を読んでいてようやくヤング図を理解した。
概念的には結構簡単。
理解しようとするモチベーションが必要だっただけか。
超超不定期更新。
最近、いろいろあったので書かないで居たら、年越してしまった。
あけましておめでとうございます。もう二月ですね。
とうとう23才になりました。
去年の暮れは結局実家に帰らず、京都で過ごした。
高台寺で除夜の鐘を聞き、初詣に上下加茂神社にいった。
最近、ニコニコの影響だか忘れたが、全米で廃人が続出したというゲーム、
Civilization4にはまっている。
むかし、やっていて封印したはずなのだが、ニコニコの呪文によって封印が破られた！
どうしよう勉強ができねー。
Fall from Heaven2という面白いMOD(Modification 個人が作ったカスタム化パッチみたいなもの)
があって、Civilization4に出てくる現実の文明をエルフとかドワーフとかが出てくる剣と魔法の世界の文明に変えちまう。
こんなものがあるから、さらに勉強が出来ないんダ。
と、こんなことを書きながら、明日のチャンドラセカールゼミ(一般相対論)に向けて勉強中ですが、
意味が分からない。
チャンドラさんってわりと自明でないことをさらりと流すんですもん。
もう意味が分からない。
もしかしたら、実は書いてあってただ読み落としているだけという可能性も、
無きにしも非ずだが。
つーか担当のとこまだ読んだだけでレジュメ作ってない。明日十時からだそうで、どうしよう。
ということはまあ置いておきましょう。
とうとう、微分幾何にいろいろと触ってきて一年がすぎようとしておりますが、
今だ基本的なことが理解できていない。
それは、「接続」です。
接続というのはとどのつまり、接空間同士のつながりを与えるものだというのはよい。
しかしそれの選び方には実は自由度がある。
Tortionをゼロ。metricを不変にする。
という二つの条件を要求して初めて一意に決まる。
このうちmetricが不変というのは分かる。
要するに、平行移動したら大きさは変わらないということだ。
問題はTortion free。
相対論の本は３つくらい読んだし、微分幾何も一つ(少ないか)は読んだけど
いまだに、このTortionの意味をはっきりと書いた本を知らない。
なんなんだろうねこれ。
多分このTortionを選ぶ自由度が接続にあること、が共変微分、しいては微分幾何が理解しにくい原因じゃまいか。(すくなくともその一つ)
これをすっきり説明できれば、微分幾何の基礎はつかんだことになるのではないか。
と思って、「微分形式の幾何学、岩波書店」を買ってしまった。
微分形式もいまいちまともにやったことないし、後半に特性類という接続の入れ方に関係していそうなことが書いてあったからだが、結構むずそう。
普通の微分幾何の本を当たったほうがいいかも。
いやまてよ。
多様体というのはただ座標を張っただけだ。あと計量もいれる。
曲がり具合を見たいなら、接続を入れなきゃいけない。
でそれは、計量が不変、Tortionなしとすると一意に決まる。
じゃあ、はじめから多様体の曲がり具合というのは計量不変、Tortionなしの接続で定義するとしておけば、違う多様体について一意にくらべることが出来る。
だからなんだ。
うーむ。わからん。
やっぱり計量が入った時点で、曲がり具合は一つに決まってそう。
それを表す接続に自由度があるというのが分かりづらくしている。
だから、Tortionによらずに決まる量が何かを調べればいいんだろうか。
そんな自由度には本質的な量は依らないなら、曲がり方は計量に付随しているものだといえよう。
とりあえず、測地線方程式はたしかトーションは関係なかったはずだから、測地線は計量から即に決まるはず。
これからなにかいえるかなぁ。
あけましておめでとうございます。もう二月ですね。
とうとう23才になりました。
去年の暮れは結局実家に帰らず、京都で過ごした。
高台寺で除夜の鐘を聞き、初詣に上下加茂神社にいった。
最近、ニコニコの影響だか忘れたが、全米で廃人が続出したというゲーム、
Civilization4にはまっている。
むかし、やっていて封印したはずなのだが、ニコニコの呪文によって封印が破られた！
どうしよう勉強ができねー。
Fall from Heaven2という面白いMOD(Modification 個人が作ったカスタム化パッチみたいなもの)
があって、Civilization4に出てくる現実の文明をエルフとかドワーフとかが出てくる剣と魔法の世界の文明に変えちまう。
こんなものがあるから、さらに勉強が出来ないんダ。
と、こんなことを書きながら、明日のチャンドラセカールゼミ(一般相対論)に向けて勉強中ですが、
意味が分からない。
チャンドラさんってわりと自明でないことをさらりと流すんですもん。
もう意味が分からない。
もしかしたら、実は書いてあってただ読み落としているだけという可能性も、
無きにしも非ずだが。
つーか担当のとこまだ読んだだけでレジュメ作ってない。明日十時からだそうで、どうしよう。
ということはまあ置いておきましょう。
とうとう、微分幾何にいろいろと触ってきて一年がすぎようとしておりますが、
今だ基本的なことが理解できていない。
それは、「接続」です。
接続というのはとどのつまり、接空間同士のつながりを与えるものだというのはよい。
しかしそれの選び方には実は自由度がある。
Tortionをゼロ。metricを不変にする。
という二つの条件を要求して初めて一意に決まる。
このうちmetricが不変というのは分かる。
要するに、平行移動したら大きさは変わらないということだ。
問題はTortion free。
相対論の本は３つくらい読んだし、微分幾何も一つ(少ないか)は読んだけど
いまだに、このTortionの意味をはっきりと書いた本を知らない。
なんなんだろうねこれ。
多分このTortionを選ぶ自由度が接続にあること、が共変微分、しいては微分幾何が理解しにくい原因じゃまいか。(すくなくともその一つ)
これをすっきり説明できれば、微分幾何の基礎はつかんだことになるのではないか。
と思って、「微分形式の幾何学、岩波書店」を買ってしまった。
微分形式もいまいちまともにやったことないし、後半に特性類という接続の入れ方に関係していそうなことが書いてあったからだが、結構むずそう。
普通の微分幾何の本を当たったほうがいいかも。
いやまてよ。
多様体というのはただ座標を張っただけだ。あと計量もいれる。
曲がり具合を見たいなら、接続を入れなきゃいけない。
でそれは、計量が不変、Tortionなしとすると一意に決まる。
じゃあ、はじめから多様体の曲がり具合というのは計量不変、Tortionなしの接続で定義するとしておけば、違う多様体について一意にくらべることが出来る。
だからなんだ。
うーむ。わからん。
やっぱり計量が入った時点で、曲がり具合は一つに決まってそう。
それを表す接続に自由度があるというのが分かりづらくしている。
だから、Tortionによらずに決まる量が何かを調べればいいんだろうか。
そんな自由度には本質的な量は依らないなら、曲がり方は計量に付随しているものだといえよう。
とりあえず、測地線方程式はたしかトーションは関係なかったはずだから、測地線は計量から即に決まるはず。
これからなにかいえるかなぁ。
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