数学チックな話
最近、また数学にはまりつつある。
またといっても、前に凄く勉強したのは学部１回２回のときだけど。
物理に比べてシンブルだし、たまにやると癒されるんだよね。
物理みたいにあちこちから、条件引っ張ってきて、これはまあ妥当だろうとかおかずにはじめから厳密に仮定してやるからロジックが一本で潔い。
数学もある程度好きなのになぜ物理に来たのかというと、
もともと物理学者を志していたというのもあるけど、
最近の数学がどうにも抽象的すぎるから。
何を対象にしてるか一見しただけではさっぱりわからん。
たぶん数覚とやらがある人たちには直ちに浮かんでくるのだろうが、
あいにく俺が興味があったのは現実の空間だから、
勉強内容がどんどん抽象的になっていくにつれ興味が薄れてしまった。
で、またいろいろ勉強して知ってる物理的対象が溜まってきたので、その数学的な背景がちゃんと知りたくなってきたのだろう。と自己分析してみる。
たぶん、ある程度知ったらまた飽きるだろう。
そもそも、学部１回２回で数学をしっかりやろうと思ったのも、物理学者たるもの物理で使うロジックをちゃんと知っているべきだと思ったからでもある。
この点で言うとやっぱり俺は数学より物理に向いていたのだと思う。
で最近勉強しているのが、リー群、あと微分幾何もすこし。位相幾何とかも勉強したい。
◎まず、微分幾何というのは、「多様体」というものを扱う。
多様体というのは言ってみれば、座標が張れる図形のこと。
まあ、日常見るものは全部多様体といえると思っていいだろう。
微分幾何というのは、その座標について微分が出来ることを仮定して、議論を進める幾何学。
一般相対性理論は空間を多様体とおもってその歪みを調べるので、大変お世話になる学問です。
昔、少し勉強してたんだけど、相対論で使うものだけ勉強した時点でもういいやってやっていなかった。
それが最近ひょんなことからガウスボンネの定理を勉強して、感動。
三角形に切るだけで積分が計算出来るなんて、なんて楽なんだ。
あと、位相が分類できるのも凄い。
あと、Hawking&Elis(相対論の本)読んでて、新しいことが出てきたので、また勉強し始めた。
指数写像とか意外と有用そう。
というか、指数写像勉強してて、Lie群と共通してるなと思った。
てかアレも微分幾何なんだけどね。
◎リー群というのは、群であり、かつ微分多様体でもある。
つまり、群(掛け算がある)という構造も持つが、同時に座標が張れて(多様体)、その上の関数を微分できちゃったりする。そんな感じ。
これは何に使うかというと、何でも使える。
たとえば、何らかのベクトルを線形に変換する演算子全体は、変換の合成を掛け算とすれば、群と呼べる。
もともと素粒子のQCDとかのSU(3)の基本表現だとか８重項とかの表現を知りたかった、
というのがモチベーションではじめた勉強だが、微分方程式を解くのにも非常に有用だと分かってきて、いまとても興味がある。
先輩が最近、５次元(空間４次元＋時間１次元)BlackHole解で一つの軸について回ってる奴の安定性について発表してたんだけど、
そのゆらぎをバックグラウンドの解の対称性について、
その対称変換群の既約表現で分類してから、とてもシンプルに解いていた。
（方程式のある解の安定性というのは、その解を小さくずらしてやって(摂動を与える)
そのずれの解が、振動または減衰または増大するかを調べる。
一つでも増大する方向があったら、その解は不安定。）
つまりはこうゆうこと、
背景時空がg(ij)(x)とするとこれをちょっと揺らがせる。
g(ij)(x) + δg(ij)(x)
xは以後省く。
g(ij)がある線形変換Uに対して不変な時、つまり
U( g(ij) ) = g(ij)
とすると、g＋ゆらぎは
U(g(ij) + δg(ij)) = g(ij) +U(δg(ij))
と変換するから、もとの時空が満たす方程式が、
R(g(ij)) = 0
だとすると、これに摂動を加えたものは
R(g(ij)+δg(ij)) = 0
これを、δg(iｊ)が小さいと思って展開しよう。δgの一次まで取ってくる。（もう添え字(ij)を省く）
R(g) + (δR/δg) δg = 0 (δR/δgはRを各g(ij)について微分したもの)
もとのgはR(g)＝0を満たすので
(δR/δg) δg = 0
これを解けばよい。※δR/δgには微分とか入っているので単純に割ってはいけない。
これは線形微分方程式だ。
ところでδgをUで変換したものも
R(g + U(δｇ)) = 0
をみたすから、また展開してやって、
δR/δg U(δg) = 0
を満たす。
つまり、こうゆうこと、
U(δR/δg δg) = δR/δg U(δg) = 0
「二つの線形変換UとδR/δｇは可換」
ここで、群の既約表現が役立ってくる。
ある群の「既約表現」とは簡単に言ってしまえば、その群の演算子(で可換なもののなす部分群)が働くベクトル空間の「固有部分空間」のことだ。
ここで次の定理が非常にクリティカル。
・Schurの補題(簡易版）
「ある群Gの既約表現の線形変換Aが、U∈Gに対して
AU = UA (Uと可換）
ならば、ある複素数λがあって、A = λ (λ倍するだけ）
となる。
つまり、Gの既約表現の空間はAにとっても固有空間になっている。」
なので、たとえば
δR/δg = δR/δg(1) + δR/δg(2)
と二つの部分に分けれたとする。
かつ、δR/δg(1)もδR/δg(2)も各々独立にUと可換とする。
このとき、ある既約表現Lの元 δg(L) を持ってくると
二つの複素数λ1、λ2を使って
δR/δg(1) = λ1 、δR/δg(2) = λ2
となる。
もとの式は
λ1 + λ2 = 0
という式になる。
つまり、
{δR/δg1(1) + δR/δg(2)}δg = 0
という方程式が、
δR/δg(1)δg = λ1δg、 δR/δg(2)δg = λ2δg
かつλ1 + λ2 = 0
という、二つの微分方程式の固有値問題に分解できる。
要するに変数分離の手法である。
線形作用素がもっとばらばらに出来たらもっと簡単になるだろう。
ところで、こうして得られた解を重ね合わせたところで全ての解が尽くされているかは自明ではないが、
まず、
Peter-Weylの定理
「コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現はすべて有限次元」（コンパクト＝無限に広がってない。例：円周、球面）
と
L(p、R(実数全体)) = ｛R上の関数f(x)で 積分 ∫|f(x)|^p dx(全Rで) が有限なもの全部｝
が、可分である（ベクトル空間としての基底がせいぜい可算個）
ということを使うと、たいていの場合(U(1)とかSU(2)とかSU(3)とか）
重ねあわせで尽くされていると思う。
U(1)対称性の時は、ただのフーリエ展開。
で、これを使うと、学部のときに、シュレーディンガー方程式を変数分離して解いて、解をそれらの固有関数の重ねあわせとした事が正当化されるわけだ。すばらしい！！
たとえば、球対称ポテンシャルV(r)を持つ場合。回転対称性(SU(2)≒SO(3))を持つので、
i∂Φ/∂t = (-i∇^2+V(r))Φ
は、∇^2= Δ(r) + (1/r^2)Δ(θ、φ)と((r、φ、θ)は極座標)それぞれ回転で不変な部分に分けられる。
(動径方向の微分＋回転方向の微分)
つまり、方程式は、それぞれ∂/∂t、-iΔ(r)+V(r)、(1/r^2)Δ(θ、φ)という三つの演算子の固有方程式、
i∂Φ/∂t = E Φ、 {-iΔ(r)+V(r)｝Φ = R Φ、 Δ(θ、φ) = LΦ
を解いて、
E = R + L
とすればイイ！！(゜∀゜)
全部Rに押し付けちゃえば、なんだか見たことのある
｛-iΔ(r) + V(r) - E + L/r^2｝Φ = 0
なんていう式に。
しかも、波動関数は二乗積分が収束するはずなのでL（2、R）に含まれる。
だから変数分離して解いて重ね合わせればOK！！
て言うわけでリー群(と表現論)すげー。
またといっても、前に凄く勉強したのは学部１回２回のときだけど。
物理に比べてシンブルだし、たまにやると癒されるんだよね。
物理みたいにあちこちから、条件引っ張ってきて、これはまあ妥当だろうとかおかずにはじめから厳密に仮定してやるからロジックが一本で潔い。
数学もある程度好きなのになぜ物理に来たのかというと、
もともと物理学者を志していたというのもあるけど、
最近の数学がどうにも抽象的すぎるから。
何を対象にしてるか一見しただけではさっぱりわからん。
たぶん数覚とやらがある人たちには直ちに浮かんでくるのだろうが、
あいにく俺が興味があったのは現実の空間だから、
勉強内容がどんどん抽象的になっていくにつれ興味が薄れてしまった。
で、またいろいろ勉強して知ってる物理的対象が溜まってきたので、その数学的な背景がちゃんと知りたくなってきたのだろう。と自己分析してみる。
たぶん、ある程度知ったらまた飽きるだろう。
そもそも、学部１回２回で数学をしっかりやろうと思ったのも、物理学者たるもの物理で使うロジックをちゃんと知っているべきだと思ったからでもある。
この点で言うとやっぱり俺は数学より物理に向いていたのだと思う。
で最近勉強しているのが、リー群、あと微分幾何もすこし。位相幾何とかも勉強したい。
◎まず、微分幾何というのは、「多様体」というものを扱う。
多様体というのは言ってみれば、座標が張れる図形のこと。
まあ、日常見るものは全部多様体といえると思っていいだろう。
微分幾何というのは、その座標について微分が出来ることを仮定して、議論を進める幾何学。
一般相対性理論は空間を多様体とおもってその歪みを調べるので、大変お世話になる学問です。
昔、少し勉強してたんだけど、相対論で使うものだけ勉強した時点でもういいやってやっていなかった。
それが最近ひょんなことからガウスボンネの定理を勉強して、感動。
三角形に切るだけで積分が計算出来るなんて、なんて楽なんだ。
あと、位相が分類できるのも凄い。
あと、Hawking&Elis(相対論の本)読んでて、新しいことが出てきたので、また勉強し始めた。
指数写像とか意外と有用そう。
というか、指数写像勉強してて、Lie群と共通してるなと思った。
てかアレも微分幾何なんだけどね。
◎リー群というのは、群であり、かつ微分多様体でもある。
つまり、群(掛け算がある)という構造も持つが、同時に座標が張れて(多様体)、その上の関数を微分できちゃったりする。そんな感じ。
これは何に使うかというと、何でも使える。
たとえば、何らかのベクトルを線形に変換する演算子全体は、変換の合成を掛け算とすれば、群と呼べる。
もともと素粒子のQCDとかのSU(3)の基本表現だとか８重項とかの表現を知りたかった、
というのがモチベーションではじめた勉強だが、微分方程式を解くのにも非常に有用だと分かってきて、いまとても興味がある。
先輩が最近、５次元(空間４次元＋時間１次元)BlackHole解で一つの軸について回ってる奴の安定性について発表してたんだけど、
そのゆらぎをバックグラウンドの解の対称性について、
その対称変換群の既約表現で分類してから、とてもシンプルに解いていた。
（方程式のある解の安定性というのは、その解を小さくずらしてやって(摂動を与える)
そのずれの解が、振動または減衰または増大するかを調べる。
一つでも増大する方向があったら、その解は不安定。）
つまりはこうゆうこと、
背景時空がg(ij)(x)とするとこれをちょっと揺らがせる。
g(ij)(x) + δg(ij)(x)
xは以後省く。
g(ij)がある線形変換Uに対して不変な時、つまり
U( g(ij) ) = g(ij)
とすると、g＋ゆらぎは
U(g(ij) + δg(ij)) = g(ij) +U(δg(ij))
と変換するから、もとの時空が満たす方程式が、
R(g(ij)) = 0
だとすると、これに摂動を加えたものは
R(g(ij)+δg(ij)) = 0
これを、δg(iｊ)が小さいと思って展開しよう。δgの一次まで取ってくる。（もう添え字(ij)を省く）
R(g) + (δR/δg) δg = 0 (δR/δgはRを各g(ij)について微分したもの)
もとのgはR(g)＝0を満たすので
(δR/δg) δg = 0
これを解けばよい。※δR/δgには微分とか入っているので単純に割ってはいけない。
これは線形微分方程式だ。
ところでδgをUで変換したものも
R(g + U(δｇ)) = 0
をみたすから、また展開してやって、
δR/δg U(δg) = 0
を満たす。
つまり、こうゆうこと、
U(δR/δg δg) = δR/δg U(δg) = 0
「二つの線形変換UとδR/δｇは可換」
ここで、群の既約表現が役立ってくる。
ある群の「既約表現」とは簡単に言ってしまえば、その群の演算子(で可換なもののなす部分群)が働くベクトル空間の「固有部分空間」のことだ。
ここで次の定理が非常にクリティカル。
・Schurの補題(簡易版）
「ある群Gの既約表現の線形変換Aが、U∈Gに対して
AU = UA (Uと可換）
ならば、ある複素数λがあって、A = λ (λ倍するだけ）
となる。
つまり、Gの既約表現の空間はAにとっても固有空間になっている。」
なので、たとえば
δR/δg = δR/δg(1) + δR/δg(2)
と二つの部分に分けれたとする。
かつ、δR/δg(1)もδR/δg(2)も各々独立にUと可換とする。
このとき、ある既約表現Lの元 δg(L) を持ってくると
二つの複素数λ1、λ2を使って
δR/δg(1) = λ1 、δR/δg(2) = λ2
となる。
もとの式は
λ1 + λ2 = 0
という式になる。
つまり、
{δR/δg1(1) + δR/δg(2)}δg = 0
という方程式が、
δR/δg(1)δg = λ1δg、 δR/δg(2)δg = λ2δg
かつλ1 + λ2 = 0
という、二つの微分方程式の固有値問題に分解できる。
要するに変数分離の手法である。
線形作用素がもっとばらばらに出来たらもっと簡単になるだろう。
ところで、こうして得られた解を重ね合わせたところで全ての解が尽くされているかは自明ではないが、
まず、
Peter-Weylの定理
「コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現はすべて有限次元」（コンパクト＝無限に広がってない。例：円周、球面）
と
L(p、R(実数全体)) = ｛R上の関数f(x)で 積分 ∫|f(x)|^p dx(全Rで) が有限なもの全部｝
が、可分である（ベクトル空間としての基底がせいぜい可算個）
ということを使うと、たいていの場合(U(1)とかSU(2)とかSU(3)とか）
重ねあわせで尽くされていると思う。
U(1)対称性の時は、ただのフーリエ展開。
で、これを使うと、学部のときに、シュレーディンガー方程式を変数分離して解いて、解をそれらの固有関数の重ねあわせとした事が正当化されるわけだ。すばらしい！！
たとえば、球対称ポテンシャルV(r)を持つ場合。回転対称性(SU(2)≒SO(3))を持つので、
i∂Φ/∂t = (-i∇^2+V(r))Φ
は、∇^2= Δ(r) + (1/r^2)Δ(θ、φ)と((r、φ、θ)は極座標)それぞれ回転で不変な部分に分けられる。
(動径方向の微分＋回転方向の微分)
つまり、方程式は、それぞれ∂/∂t、-iΔ(r)+V(r)、(1/r^2)Δ(θ、φ)という三つの演算子の固有方程式、
i∂Φ/∂t = E Φ、 {-iΔ(r)+V(r)｝Φ = R Φ、 Δ(θ、φ) = LΦ
を解いて、
E = R + L
とすればイイ！！(゜∀゜)
全部Rに押し付けちゃえば、なんだか見たことのある
｛-iΔ(r) + V(r) - E + L/r^2｝Φ = 0
なんていう式に。
しかも、波動関数は二乗積分が収束するはずなのでL（2、R）に含まれる。
だから変数分離して解いて重ね合わせればOK！！
て言うわけでリー群(と表現論)すげー。
JGRG17
今週は、名古屋でJGRG17 「The 17th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan」。
重力とか相対論の研究会です。
名大の野依なんとかホールというガラス張りの超おしゃれなところ。
なんか名大の建物とか生協とか明るいね。全体的に。
キャンパスライフというものが感じられる。
そこら辺が京大とちがうというか、京大は研究できればいいって感じだなぁ・・・。
ようやく四日目ですが、三日目ですでに一週間終わったなと感じます。
やはり、人ごみは疲れる。
といってもM1は聞いてたり遊んだりしてるだけですが。
一日目から、うまい味噌カツ屋に行って、たらふく食ったり、２日目は先輩らとドンちゃん騒いだり、機能はBanquetのあと数人でカラオケに行ったりと、発表もしないのにかなり満喫しております。
肝心の内容、
初日からなぜかBraneとか高次元のお話。
ここにいたってようやく、KK（カルツァ-クライン）コンパクト化とWarpedコンパクト化の違いを理解した。
いろいろ話を聞いて、5次元のEinsteinをKKコンパクト化したものをEinstein-Maxwellとみなすのは自然な気がしてきた。真空中に、時間-座標のほかに電磁場の強さを現す方向がもうひとつ存在していると考えるのはとてもしっくり来る。
しかも、KKコンパクト化というのは次元を丸めることだから、一周して不変というのはゲージ不変性に対応していて面白い。
ただ、ほかの力はどうするのかしらんが。
で、今は6次元で、一次元をKK、もう一次元をWarpedコンパクト化するのがはやっていると。
重力とか相対論の研究会です。
名大の野依なんとかホールというガラス張りの超おしゃれなところ。
なんか名大の建物とか生協とか明るいね。全体的に。
キャンパスライフというものが感じられる。
そこら辺が京大とちがうというか、京大は研究できればいいって感じだなぁ・・・。
ようやく四日目ですが、三日目ですでに一週間終わったなと感じます。
やはり、人ごみは疲れる。
といってもM1は聞いてたり遊んだりしてるだけですが。
一日目から、うまい味噌カツ屋に行って、たらふく食ったり、２日目は先輩らとドンちゃん騒いだり、機能はBanquetのあと数人でカラオケに行ったりと、発表もしないのにかなり満喫しております。
肝心の内容、
初日からなぜかBraneとか高次元のお話。
ここにいたってようやく、KK（カルツァ-クライン）コンパクト化とWarpedコンパクト化の違いを理解した。
いろいろ話を聞いて、5次元のEinsteinをKKコンパクト化したものをEinstein-Maxwellとみなすのは自然な気がしてきた。真空中に、時間-座標のほかに電磁場の強さを現す方向がもうひとつ存在していると考えるのはとてもしっくり来る。
しかも、KKコンパクト化というのは次元を丸めることだから、一周して不変というのはゲージ不変性に対応していて面白い。
ただ、ほかの力はどうするのかしらんが。
で、今は6次元で、一次元をKK、もう一次元をWarpedコンパクト化するのがはやっていると。
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