プラゼミとか
プラズマゼミ第一回目。
午前からと聞いていたので十一時ごろ(やる気ねー)いったら、七時からになったらしい。
ので、テキストを今頃コピー。
コピーのコピーゆえ題名わからぬ。
生協で製本しつつ、フリアンディースでパンを買い、昼飯前にボックスで葛城と俊寛を謡う。
俊寛を謡っていると、古いＯＢのかたがやってこられた。
55±5年卒(正確には忘れた)の人で吉本さんよりは下ということだった。
なんでもたまたま出張で来たので、寄ってみたのだとか。
当時は、ボックスが出来たばっかりで舞台の板もぼこぼこへこんだり出っ張ったりしていて、それを削って直したんだと、懐かしがっておられたが、もう水道橋に行かなくてはと、行ってしまわれた。
東京で卍朗師の芦刈があるんだそうな。
ていうか澤田師もそんなことをいっていた気がするが、もう記憶が残っていない。
という偶然の出来事が印象に残っている。
これも何かの縁かのう。
と思いながら、俊寛の続きを謡い、お気に入りの店のパンを食らう。
ゼミは２章からなので、適当に１章を読む。
プラズマは古代ギリシャですでに予言されていた。
つまりプラズマは、固体、液体、気体に次ぐ第四の状態なわけだが、
古代ギリシアでは、他方エンペドクレスが世界は火と地と水と空気から出来ていると語った。
要するに、地→固体、水→液体、空気→気体、火→プラズマ。
ちょっと前半無理があるけど、火は確かにプラズマです。
気体がプラズマに変化する現象が、炎です。
プラズマというのは、正確にはガス中に電離して自由に飛び回っている荷電粒子が"充分に"いて、性質が電磁気力によって決まる状態のこと。
あと全体としては中性。
宇宙では、太陽とか全部プラズマだし、太陽からは太陽風がビュービュー吹いて、宇宙空間の物質をがんがん電離しているので、プラズマばかり。
プラズマフリーで生物の楽園な地球は、かなり例外です。
それというのも、磁場バリアで守られているから。
宇宙で磁場というのは重要。だって宇宙に電場はない。
すぐに中性になってしまうから。
いま、制御核融合を目指しているひとたちも、磁気でプラズマを閉じ込めようとしている。トカマクとか安定してていいよ。
とか書いてあったように思う。
ゼミは、ゆるゆると始まった。
まず、全体ではなく、一粒子の電磁場中の運動を見ようという話だ。
荷電粒子(電荷を帯びた粒子)の運動は
・磁場に沿ったジャイロ運動
と
・ジャイロ運動の中心の運動
に分離できるという話だった。
まず、荷電粒子は磁場があるとローレンツ力でくるくると磁場にまきついて、磁場に沿いながら運動する。これがジャイロ運動。
さらに電場があったり、磁場に勾配や曲がりがあったりすると、このジャイロ運動がすこし磁力線からずれてくる。これをドリフトと呼ぶ。
とかいう話。
これ誰か読むのかなぁ(--;)
午前からと聞いていたので十一時ごろ(やる気ねー)いったら、七時からになったらしい。
ので、テキストを今頃コピー。
コピーのコピーゆえ題名わからぬ。
生協で製本しつつ、フリアンディースでパンを買い、昼飯前にボックスで葛城と俊寛を謡う。
俊寛を謡っていると、古いＯＢのかたがやってこられた。
55±5年卒(正確には忘れた)の人で吉本さんよりは下ということだった。
なんでもたまたま出張で来たので、寄ってみたのだとか。
当時は、ボックスが出来たばっかりで舞台の板もぼこぼこへこんだり出っ張ったりしていて、それを削って直したんだと、懐かしがっておられたが、もう水道橋に行かなくてはと、行ってしまわれた。
東京で卍朗師の芦刈があるんだそうな。
ていうか澤田師もそんなことをいっていた気がするが、もう記憶が残っていない。
という偶然の出来事が印象に残っている。
これも何かの縁かのう。
と思いながら、俊寛の続きを謡い、お気に入りの店のパンを食らう。
ゼミは２章からなので、適当に１章を読む。
プラズマは古代ギリシャですでに予言されていた。
つまりプラズマは、固体、液体、気体に次ぐ第四の状態なわけだが、
古代ギリシアでは、他方エンペドクレスが世界は火と地と水と空気から出来ていると語った。
要するに、地→固体、水→液体、空気→気体、火→プラズマ。
ちょっと前半無理があるけど、火は確かにプラズマです。
気体がプラズマに変化する現象が、炎です。
プラズマというのは、正確にはガス中に電離して自由に飛び回っている荷電粒子が"充分に"いて、性質が電磁気力によって決まる状態のこと。
あと全体としては中性。
宇宙では、太陽とか全部プラズマだし、太陽からは太陽風がビュービュー吹いて、宇宙空間の物質をがんがん電離しているので、プラズマばかり。
プラズマフリーで生物の楽園な地球は、かなり例外です。
それというのも、磁場バリアで守られているから。
宇宙で磁場というのは重要。だって宇宙に電場はない。
すぐに中性になってしまうから。
いま、制御核融合を目指しているひとたちも、磁気でプラズマを閉じ込めようとしている。トカマクとか安定してていいよ。
とか書いてあったように思う。
ゼミは、ゆるゆると始まった。
まず、全体ではなく、一粒子の電磁場中の運動を見ようという話だ。
荷電粒子(電荷を帯びた粒子)の運動は
・磁場に沿ったジャイロ運動
と
・ジャイロ運動の中心の運動
に分離できるという話だった。
まず、荷電粒子は磁場があるとローレンツ力でくるくると磁場にまきついて、磁場に沿いながら運動する。これがジャイロ運動。
さらに電場があったり、磁場に勾配や曲がりがあったりすると、このジャイロ運動がすこし磁力線からずれてくる。これをドリフトと呼ぶ。
とかいう話。
これ誰か読むのかなぁ(--;)
数学チックな話
最近、また数学にはまりつつある。
またといっても、前に凄く勉強したのは学部１回２回のときだけど。
物理に比べてシンブルだし、たまにやると癒されるんだよね。
物理みたいにあちこちから、条件引っ張ってきて、これはまあ妥当だろうとかおかずにはじめから厳密に仮定してやるからロジックが一本で潔い。
数学もある程度好きなのになぜ物理に来たのかというと、
もともと物理学者を志していたというのもあるけど、
最近の数学がどうにも抽象的すぎるから。
何を対象にしてるか一見しただけではさっぱりわからん。
たぶん数覚とやらがある人たちには直ちに浮かんでくるのだろうが、
あいにく俺が興味があったのは現実の空間だから、
勉強内容がどんどん抽象的になっていくにつれ興味が薄れてしまった。
で、またいろいろ勉強して知ってる物理的対象が溜まってきたので、その数学的な背景がちゃんと知りたくなってきたのだろう。と自己分析してみる。
たぶん、ある程度知ったらまた飽きるだろう。
そもそも、学部１回２回で数学をしっかりやろうと思ったのも、物理学者たるもの物理で使うロジックをちゃんと知っているべきだと思ったからでもある。
この点で言うとやっぱり俺は数学より物理に向いていたのだと思う。
で最近勉強しているのが、リー群、あと微分幾何もすこし。位相幾何とかも勉強したい。
◎まず、微分幾何というのは、「多様体」というものを扱う。
多様体というのは言ってみれば、座標が張れる図形のこと。
まあ、日常見るものは全部多様体といえると思っていいだろう。
微分幾何というのは、その座標について微分が出来ることを仮定して、議論を進める幾何学。
一般相対性理論は空間を多様体とおもってその歪みを調べるので、大変お世話になる学問です。
昔、少し勉強してたんだけど、相対論で使うものだけ勉強した時点でもういいやってやっていなかった。
それが最近ひょんなことからガウスボンネの定理を勉強して、感動。
三角形に切るだけで積分が計算出来るなんて、なんて楽なんだ。
あと、位相が分類できるのも凄い。
あと、Hawking&Elis(相対論の本)読んでて、新しいことが出てきたので、また勉強し始めた。
指数写像とか意外と有用そう。
というか、指数写像勉強してて、Lie群と共通してるなと思った。
てかアレも微分幾何なんだけどね。
◎リー群というのは、群であり、かつ微分多様体でもある。
つまり、群(掛け算がある)という構造も持つが、同時に座標が張れて(多様体)、その上の関数を微分できちゃったりする。そんな感じ。
これは何に使うかというと、何でも使える。
たとえば、何らかのベクトルを線形に変換する演算子全体は、変換の合成を掛け算とすれば、群と呼べる。
もともと素粒子のQCDとかのSU(3)の基本表現だとか８重項とかの表現を知りたかった、
というのがモチベーションではじめた勉強だが、微分方程式を解くのにも非常に有用だと分かってきて、いまとても興味がある。
先輩が最近、５次元(空間４次元＋時間１次元)BlackHole解で一つの軸について回ってる奴の安定性について発表してたんだけど、
そのゆらぎをバックグラウンドの解の対称性について、
その対称変換群の既約表現で分類してから、とてもシンプルに解いていた。
（方程式のある解の安定性というのは、その解を小さくずらしてやって(摂動を与える)
そのずれの解が、振動または減衰または増大するかを調べる。
一つでも増大する方向があったら、その解は不安定。）
つまりはこうゆうこと、
背景時空がg(ij)(x)とするとこれをちょっと揺らがせる。
g(ij)(x) + δg(ij)(x)
xは以後省く。
g(ij)がある線形変換Uに対して不変な時、つまり
U( g(ij) ) = g(ij)
とすると、g＋ゆらぎは
U(g(ij) + δg(ij)) = g(ij) +U(δg(ij))
と変換するから、もとの時空が満たす方程式が、
R(g(ij)) = 0
だとすると、これに摂動を加えたものは
R(g(ij)+δg(ij)) = 0
これを、δg(iｊ)が小さいと思って展開しよう。δgの一次まで取ってくる。（もう添え字(ij)を省く）
R(g) + (δR/δg) δg = 0 (δR/δgはRを各g(ij)について微分したもの)
もとのgはR(g)＝0を満たすので
(δR/δg) δg = 0
これを解けばよい。※δR/δgには微分とか入っているので単純に割ってはいけない。
これは線形微分方程式だ。
ところでδgをUで変換したものも
R(g + U(δｇ)) = 0
をみたすから、また展開してやって、
δR/δg U(δg) = 0
を満たす。
つまり、こうゆうこと、
U(δR/δg δg) = δR/δg U(δg) = 0
「二つの線形変換UとδR/δｇは可換」
ここで、群の既約表現が役立ってくる。
ある群の「既約表現」とは簡単に言ってしまえば、その群の演算子(で可換なもののなす部分群)が働くベクトル空間の「固有部分空間」のことだ。
ここで次の定理が非常にクリティカル。
・Schurの補題(簡易版）
「ある群Gの既約表現の線形変換Aが、U∈Gに対して
AU = UA (Uと可換）
ならば、ある複素数λがあって、A = λ (λ倍するだけ）
となる。
つまり、Gの既約表現の空間はAにとっても固有空間になっている。」
なので、たとえば
δR/δg = δR/δg(1) + δR/δg(2)
と二つの部分に分けれたとする。
かつ、δR/δg(1)もδR/δg(2)も各々独立にUと可換とする。
このとき、ある既約表現Lの元 δg(L) を持ってくると
二つの複素数λ1、λ2を使って
δR/δg(1) = λ1 、δR/δg(2) = λ2
となる。
もとの式は
λ1 + λ2 = 0
という式になる。
つまり、
{δR/δg1(1) + δR/δg(2)}δg = 0
という方程式が、
δR/δg(1)δg = λ1δg、 δR/δg(2)δg = λ2δg
かつλ1 + λ2 = 0
という、二つの微分方程式の固有値問題に分解できる。
要するに変数分離の手法である。
線形作用素がもっとばらばらに出来たらもっと簡単になるだろう。
ところで、こうして得られた解を重ね合わせたところで全ての解が尽くされているかは自明ではないが、
まず、
Peter-Weylの定理
「コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現はすべて有限次元」（コンパクト＝無限に広がってない。例：円周、球面）
と
L(p、R(実数全体)) = ｛R上の関数f(x)で 積分 ∫|f(x)|^p dx(全Rで) が有限なもの全部｝
が、可分である（ベクトル空間としての基底がせいぜい可算個）
ということを使うと、たいていの場合(U(1)とかSU(2)とかSU(3)とか）
重ねあわせで尽くされていると思う。
U(1)対称性の時は、ただのフーリエ展開。
で、これを使うと、学部のときに、シュレーディンガー方程式を変数分離して解いて、解をそれらの固有関数の重ねあわせとした事が正当化されるわけだ。すばらしい！！
たとえば、球対称ポテンシャルV(r)を持つ場合。回転対称性(SU(2)≒SO(3))を持つので、
i∂Φ/∂t = (-i∇^2+V(r))Φ
は、∇^2= Δ(r) + (1/r^2)Δ(θ、φ)と((r、φ、θ)は極座標)それぞれ回転で不変な部分に分けられる。
(動径方向の微分＋回転方向の微分)
つまり、方程式は、それぞれ∂/∂t、-iΔ(r)+V(r)、(1/r^2)Δ(θ、φ)という三つの演算子の固有方程式、
i∂Φ/∂t = E Φ、 {-iΔ(r)+V(r)｝Φ = R Φ、 Δ(θ、φ) = LΦ
を解いて、
E = R + L
とすればイイ！！(゜∀゜)
全部Rに押し付けちゃえば、なんだか見たことのある
｛-iΔ(r) + V(r) - E + L/r^2｝Φ = 0
なんていう式に。
しかも、波動関数は二乗積分が収束するはずなのでL（2、R）に含まれる。
だから変数分離して解いて重ね合わせればOK！！
て言うわけでリー群(と表現論)すげー。
またといっても、前に凄く勉強したのは学部１回２回のときだけど。
物理に比べてシンブルだし、たまにやると癒されるんだよね。
物理みたいにあちこちから、条件引っ張ってきて、これはまあ妥当だろうとかおかずにはじめから厳密に仮定してやるからロジックが一本で潔い。
数学もある程度好きなのになぜ物理に来たのかというと、
もともと物理学者を志していたというのもあるけど、
最近の数学がどうにも抽象的すぎるから。
何を対象にしてるか一見しただけではさっぱりわからん。
たぶん数覚とやらがある人たちには直ちに浮かんでくるのだろうが、
あいにく俺が興味があったのは現実の空間だから、
勉強内容がどんどん抽象的になっていくにつれ興味が薄れてしまった。
で、またいろいろ勉強して知ってる物理的対象が溜まってきたので、その数学的な背景がちゃんと知りたくなってきたのだろう。と自己分析してみる。
たぶん、ある程度知ったらまた飽きるだろう。
そもそも、学部１回２回で数学をしっかりやろうと思ったのも、物理学者たるもの物理で使うロジックをちゃんと知っているべきだと思ったからでもある。
この点で言うとやっぱり俺は数学より物理に向いていたのだと思う。
で最近勉強しているのが、リー群、あと微分幾何もすこし。位相幾何とかも勉強したい。
◎まず、微分幾何というのは、「多様体」というものを扱う。
多様体というのは言ってみれば、座標が張れる図形のこと。
まあ、日常見るものは全部多様体といえると思っていいだろう。
微分幾何というのは、その座標について微分が出来ることを仮定して、議論を進める幾何学。
一般相対性理論は空間を多様体とおもってその歪みを調べるので、大変お世話になる学問です。
昔、少し勉強してたんだけど、相対論で使うものだけ勉強した時点でもういいやってやっていなかった。
それが最近ひょんなことからガウスボンネの定理を勉強して、感動。
三角形に切るだけで積分が計算出来るなんて、なんて楽なんだ。
あと、位相が分類できるのも凄い。
あと、Hawking&Elis(相対論の本)読んでて、新しいことが出てきたので、また勉強し始めた。
指数写像とか意外と有用そう。
というか、指数写像勉強してて、Lie群と共通してるなと思った。
てかアレも微分幾何なんだけどね。
◎リー群というのは、群であり、かつ微分多様体でもある。
つまり、群(掛け算がある)という構造も持つが、同時に座標が張れて(多様体)、その上の関数を微分できちゃったりする。そんな感じ。
これは何に使うかというと、何でも使える。
たとえば、何らかのベクトルを線形に変換する演算子全体は、変換の合成を掛け算とすれば、群と呼べる。
もともと素粒子のQCDとかのSU(3)の基本表現だとか８重項とかの表現を知りたかった、
というのがモチベーションではじめた勉強だが、微分方程式を解くのにも非常に有用だと分かってきて、いまとても興味がある。
先輩が最近、５次元(空間４次元＋時間１次元)BlackHole解で一つの軸について回ってる奴の安定性について発表してたんだけど、
そのゆらぎをバックグラウンドの解の対称性について、
その対称変換群の既約表現で分類してから、とてもシンプルに解いていた。
（方程式のある解の安定性というのは、その解を小さくずらしてやって(摂動を与える)
そのずれの解が、振動または減衰または増大するかを調べる。
一つでも増大する方向があったら、その解は不安定。）
つまりはこうゆうこと、
背景時空がg(ij)(x)とするとこれをちょっと揺らがせる。
g(ij)(x) + δg(ij)(x)
xは以後省く。
g(ij)がある線形変換Uに対して不変な時、つまり
U( g(ij) ) = g(ij)
とすると、g＋ゆらぎは
U(g(ij) + δg(ij)) = g(ij) +U(δg(ij))
と変換するから、もとの時空が満たす方程式が、
R(g(ij)) = 0
だとすると、これに摂動を加えたものは
R(g(ij)+δg(ij)) = 0
これを、δg(iｊ)が小さいと思って展開しよう。δgの一次まで取ってくる。（もう添え字(ij)を省く）
R(g) + (δR/δg) δg = 0 (δR/δgはRを各g(ij)について微分したもの)
もとのgはR(g)＝0を満たすので
(δR/δg) δg = 0
これを解けばよい。※δR/δgには微分とか入っているので単純に割ってはいけない。
これは線形微分方程式だ。
ところでδgをUで変換したものも
R(g + U(δｇ)) = 0
をみたすから、また展開してやって、
δR/δg U(δg) = 0
を満たす。
つまり、こうゆうこと、
U(δR/δg δg) = δR/δg U(δg) = 0
「二つの線形変換UとδR/δｇは可換」
ここで、群の既約表現が役立ってくる。
ある群の「既約表現」とは簡単に言ってしまえば、その群の演算子(で可換なもののなす部分群)が働くベクトル空間の「固有部分空間」のことだ。
ここで次の定理が非常にクリティカル。
・Schurの補題(簡易版）
「ある群Gの既約表現の線形変換Aが、U∈Gに対して
AU = UA (Uと可換）
ならば、ある複素数λがあって、A = λ (λ倍するだけ）
となる。
つまり、Gの既約表現の空間はAにとっても固有空間になっている。」
なので、たとえば
δR/δg = δR/δg(1) + δR/δg(2)
と二つの部分に分けれたとする。
かつ、δR/δg(1)もδR/δg(2)も各々独立にUと可換とする。
このとき、ある既約表現Lの元 δg(L) を持ってくると
二つの複素数λ1、λ2を使って
δR/δg(1) = λ1 、δR/δg(2) = λ2
となる。
もとの式は
λ1 + λ2 = 0
という式になる。
つまり、
{δR/δg1(1) + δR/δg(2)}δg = 0
という方程式が、
δR/δg(1)δg = λ1δg、 δR/δg(2)δg = λ2δg
かつλ1 + λ2 = 0
という、二つの微分方程式の固有値問題に分解できる。
要するに変数分離の手法である。
線形作用素がもっとばらばらに出来たらもっと簡単になるだろう。
ところで、こうして得られた解を重ね合わせたところで全ての解が尽くされているかは自明ではないが、
まず、
Peter-Weylの定理
「コンパクト群の任意の既約ユニタリ表現はすべて有限次元」（コンパクト＝無限に広がってない。例：円周、球面）
と
L(p、R(実数全体)) = ｛R上の関数f(x)で 積分 ∫|f(x)|^p dx(全Rで) が有限なもの全部｝
が、可分である（ベクトル空間としての基底がせいぜい可算個）
ということを使うと、たいていの場合(U(1)とかSU(2)とかSU(3)とか）
重ねあわせで尽くされていると思う。
U(1)対称性の時は、ただのフーリエ展開。
で、これを使うと、学部のときに、シュレーディンガー方程式を変数分離して解いて、解をそれらの固有関数の重ねあわせとした事が正当化されるわけだ。すばらしい！！
たとえば、球対称ポテンシャルV(r)を持つ場合。回転対称性(SU(2)≒SO(3))を持つので、
i∂Φ/∂t = (-i∇^2+V(r))Φ
は、∇^2= Δ(r) + (1/r^2)Δ(θ、φ)と((r、φ、θ)は極座標)それぞれ回転で不変な部分に分けられる。
(動径方向の微分＋回転方向の微分)
つまり、方程式は、それぞれ∂/∂t、-iΔ(r)+V(r)、(1/r^2)Δ(θ、φ)という三つの演算子の固有方程式、
i∂Φ/∂t = E Φ、 {-iΔ(r)+V(r)｝Φ = R Φ、 Δ(θ、φ) = LΦ
を解いて、
E = R + L
とすればイイ！！(゜∀゜)
全部Rに押し付けちゃえば、なんだか見たことのある
｛-iΔ(r) + V(r) - E + L/r^2｝Φ = 0
なんていう式に。
しかも、波動関数は二乗積分が収束するはずなのでL（2、R）に含まれる。
だから変数分離して解いて重ね合わせればOK！！
て言うわけでリー群(と表現論)すげー。
微分形式のお勉強をした。
「微分形式の幾何学」をざっと読んでみた。
微分形式に対する理解が多少高まった気もする。
完全形式(全微分)は閉形式。
閉形式が完全形式になるかどうかは(全微分できるかどうか)、考えている空間の形状による。
実は、閉形式を完全形式で割ったものは空間のコホモロジーに等しい。
つまり、閉形式＝完全形式＋コホモロジー
完全形式で割った余りがコホモロジー。
これがゼロ(穴が開いてなければ)ならば、全微分可能。
ホモロジーとコ・ホモロジーは双対の関係。
ホモロジーとコホモロジーは微分形式のコホモロジー(de Rham コホモロジー)と同値(de Rhamの定理)でどちらも、多様体の大局的な構造を決めている？
結局、ベクトルバンドルのつながり具合曲がり具合を決めるのが接続。
接続を決めると曲率が決まる。
で、曲がり具合は計量を入れることで決めることができる。
計量と整合し、Tortionがゼロになるような接続は一つしかなく、Levi-Civita接続と呼ぶ。
微分形式上のある不変多項式をきめると、それからコホモロジー類が一つきまる。
それは、接続のとり方によらない。
これを特性類という。
たしかホモロジーとかコホモロジーとかってのは穴の数を図るものだから、特性類というのは穴を一つ選ぶのに対応しているのか？
だとするとそれは空間のつながり具合であって、曲がり具合ではない気がするな。
やはり、曲がり具合と接続の選び方の関係は、Cartanの(第一)構造方程式の意味を理解すべきかもしれない。
Cartanの構造方程式は二つあって、
１、接続からトーションを与える。
２、接続から曲率を与える。
２はただの曲率の定義式。
１というのはつまり、各点の接空間の基底(tetrad) {e(i)} i=1〜n
に対し、以下の2-formの式が成り立つ。
T(i) = de(i) + w(ij) Λ e(j)
Tortion free:T(i)=0
とは、w(ij)Λe(j)がe(i)の外微分となることを意味する。
w(ij)=だから、
基底を、動かす方向に関係がありそうだが・・・。
そういえば、リー代数の本(Georgi)を読んでいてようやくヤング図を理解した。
概念的には結構簡単。
理解しようとするモチベーションが必要だっただけか。
微分形式に対する理解が多少高まった気もする。
完全形式(全微分)は閉形式。
閉形式が完全形式になるかどうかは(全微分できるかどうか)、考えている空間の形状による。
実は、閉形式を完全形式で割ったものは空間のコホモロジーに等しい。
つまり、閉形式＝完全形式＋コホモロジー
完全形式で割った余りがコホモロジー。
これがゼロ(穴が開いてなければ)ならば、全微分可能。
ホモロジーとコ・ホモロジーは双対の関係。
ホモロジーとコホモロジーは微分形式のコホモロジー(de Rham コホモロジー)と同値(de Rhamの定理)でどちらも、多様体の大局的な構造を決めている？
結局、ベクトルバンドルのつながり具合曲がり具合を決めるのが接続。
接続を決めると曲率が決まる。
で、曲がり具合は計量を入れることで決めることができる。
計量と整合し、Tortionがゼロになるような接続は一つしかなく、Levi-Civita接続と呼ぶ。
微分形式上のある不変多項式をきめると、それからコホモロジー類が一つきまる。
それは、接続のとり方によらない。
これを特性類という。
たしかホモロジーとかコホモロジーとかってのは穴の数を図るものだから、特性類というのは穴を一つ選ぶのに対応しているのか？
だとするとそれは空間のつながり具合であって、曲がり具合ではない気がするな。
やはり、曲がり具合と接続の選び方の関係は、Cartanの(第一)構造方程式の意味を理解すべきかもしれない。
Cartanの構造方程式は二つあって、
１、接続からトーションを与える。
２、接続から曲率を与える。
２はただの曲率の定義式。
１というのはつまり、各点の接空間の基底(tetrad) {e(i)} i=1〜n
に対し、以下の2-formの式が成り立つ。
T(i) = de(i) + w(ij) Λ e(j)
Tortion free:T(i)=0
とは、w(ij)Λe(j)がe(i)の外微分となることを意味する。
w(ij)=
基底を、動かす方向に関係がありそうだが・・・。
そういえば、リー代数の本(Georgi)を読んでいてようやくヤング図を理解した。
概念的には結構簡単。
理解しようとするモチベーションが必要だっただけか。
ゲージ変換と接続
昨日、図書館で考えていたら、ようやくゲージ変換がつかめた(気がする)のでまとめてみようと思う。
今日は学校行く前に、Civ4を速さ”マラソン”で始めたら、ひどい目にあった。
もちろん、ゲームはすばらしかった。
我がフリードリヒ大王率いるドイチュ帝國は、エジプト、スペインを始めとしてつぎつぎとライバルを撃破し、ついには世界の半分以上にわたる大帝国を築き上げ、その領土は(現実と違って)日の沈まぬ帝國となったり、制覇勝利をなしたのであった。
犠牲は多かった。しかし、耐え難きを耐え、忍び難きを忍びである。
たとえば、私の学校へ行く時間とか、飯食う時間とかさまざまなものが犠牲になった。
ようするに、朝から今までやってたんである。
OTL。。。。
※この駄文を読む方がいたら、微分幾何とゲージ場の理論を多少知っておられる幸せになれるのではないかと思います。
さて、
ゲージ変換とは、接続とはなんだろうかと考えていたが、
これらはなんとか繋ぐことができそうだ。
イメージとしてはこんな感じ。
・一斉ゲージ変換：ほんとに何もしない。単なる基底の取替え。
・局所ゲージ変換：ゲージ空間の実空間上の繋がり方を変える。接続を変える！
・接続：自分のとこ(x)にあるゲージ空間とお隣(x+dx)にあるゲージ空間との繋がりを与える。
ゲージ変換とは、ある多自由度の波動関数の空間{Φ(i)}i=1〜n
での回転を表している。
そして、その回転の自由度は現実の物理には現れてこない。
つまり、変換に対し、Lagrangian L=1/2 |∇μΦ|^2-m/2 |Φ|^2 +tr(FF)
は変わらないということだ。
ここで注意すべきなのが、∇μが接続であるということ。
これは考えている場がバンドルであるので入れなければならない（と思う。）
つまり、各点の場の空間同士のつながりが”自明でない”可能性があるので微分は共変微分でないといけない。でなければ方向微分にならない。
結局、現実には"量子場の"回転の自由度という余分な自由度が付け加わっている。
この自由度は(物理が変わらないから)観測することができないが、量子場を空間の中でで”平行移動で回して”その「歪み」を観測することはできる。
この歪みこそが場の強さFであり、微分幾何でいえば曲率Rとなる。
で、そもそも考え始めた疑問はなんだったかというと、
Mukhanovで、ゲージ場Aμがゲージ変換群Gのリー環だ、と書いてあったのがよく分からなかった。
そもそも、微分にAμを足す心が実はいまだによく分かっていないのが問題だったのだ。
つまり、もともと、ゲージ場はΦ(i)が"局所"ゲージ変換で変わってもLagrangianが不変なように、
微分をただの偏微分∂μからDμ＝∂μ + ieAμと付け加えたものだ。
初めて習った当時は、こんなのから電磁場が出るんだーへーすげー。
とか感動していたけど、よく考えると結構適当感がある。
付け加えるとか、何をしているのかよく分からない。
しかし、これを微分幾何の心で見てみよう。
まずは微分幾何の復習から。
多様体Mの上で方向微分の集合を考えることで各点p毎に接ベクトル空間TpMが張れた。
この時点ではある点接空間とお隣の接空間はそれぞればらばらに定義されていてつながり方は決まっていない。
つまり、ある点(x)での接ベクトルを"平行移動"したら、隣の点(x+dx)でどんなベクトルになるかは、
「別途」決めなくてはいけない。
この「つながり方」と「平行移動」の決め方が曲者で、ちゃんと平行移動しているように見えるようににつながないといけない。
それが、接続である。
接続∇は、TpM×TpMからTpMへの双線形写像で微分の法則(ライプニッツ則)を満たすもの。
この接続が方向微分の一般化つまり、平行移動の一般化になっている。
時空が平坦ならばこの接続は普通の方向微分∂μでいい。
実は、この接続∇はこの性質だけでは一意に決まらない。
なにが余分なのかは前回議論したとおりよく分からないが、今回はそれは置いておく。
で、時空が曲がっている場合、接続∇はただの方向微分∂μからずれる。
その双線形性から、「ずれ」は基底がどうずれるのかから全て決定できる。
つまり、ベクトル空間の基底を｛Eμ｝とすると、
「Eμの方向へEνを動かしたら、Eλの方向へどれだけずれるか」
という情報だけで接続が書ける。これをΓλμνと書くと、(λは上付きな気分)
Γλμν ＝ （Eλ、∇(Eν)Eμ） ※（、）は内積。
となる。
ここで注意してほしいのは、Γλμνのうちのλとν。
これは、基底の変換行列になっている。(νをλに変える)
だから、4×4の正方行列(空間次元)を使って、Γμと書こう。（太字は行列だという気持ち）
すると、∇＝∂μ＋Γμ と書ける。
ゲージ場っぽくなってきたと思う。
とここまでは、普通の微分幾何の話。
話をゲージ理論に戻そう。
今までは、接空間を接空間に沿って移動したらどう回るかという話。
今からは、波動関数の空間Xｐ｛Φ(i)｝を接空間に沿って(←ここ重要)移動したらどう回るかという話。
つまり、接続（みたいなもの）としては、
TpM×TpM→TpM
が、
Xｐ×TpM→Xp
になる。
Xｐは実空間からまったく浮いた空間なので、今回の接続は空間の幾何とはまったく関係ない。
すくなくとも、さっきの接続とは独立にきまる。
いま、Xpだけがあるとすると、状況はTpMだけが与えられたときと同じである。
つながり方、平行移動の仕方を決めなきゃいけない。
さっきの接続は、空間の曲がりとは独立に決めることはできなかったが今回はまったく自由である。
さっきと同じ様につながり方はΓμで決まる。
ただし、今回基底は実空間の基底{Eμ}とXｐの基底｛Φ(i)｝が必要で、
Γμは、ｎ×ｎ(波動関数の成分の次元)行列。
成分で書けば、Γμ＝(Γjμi) i,j=1〜n
やっとここまできた。
今回示したかったのはこの行列が、ゲージ群のリー代数になるということだった（と思う）
それを考えるにはまず、どういう接続があるかを考えてみればいい。
まず、もっとも自明なつながり。
素直に全部平行につなげる。
点xでの基底Φ(i)のお隣の点x+dxでの成分をみると同じくΦ(i)になってるような接続。
ようするに、Γμ＝0。
じゃあ、これを局所ゲージ変換U(x)∈G（GとしてU(n)を考えてる)で回してやったらどう変わるのか、
当然つながりが歪む。
Φ(x) → Φ'(x) = U（ｘ）Φ(x) と回そう。
今まで、Φ(x+dx) = Φ(x) ※Φ(x+dx)はΦ(x)をdxに平行移動してやったもの
だったのが、U(x+dx)を掛けて、
U(x+dx)Φ(x+dx) = U(x+dx)(U(x)^-1)U(x)Φ(x)
= U(x+dx)(U(x)^-1) Φ'(x)
= Φ'(x) + dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x)
左辺＝Φ'(x+dx)=Φ'(x) + dΦ'(x)
となるので、
結局、今まで平行移動のずれdΦ(x)=0だったのが、
dΦ'(x) = dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x) のずれができる。
つまり、局所ゲージ変換で空間の繋がりがねじれた。
このとき、Γμは
Γμ = (∂μU)(U^-1)
ここで、(∂μU(x))(U(x)^-1)は、V(y)=U(y)(U(x)^-1)という単位元(y=x))を通る曲線の微分であるから、Gのリー代数の元である。
もともと、接続∇μ＝∂μ＋Aμがあったとしても、
この意味は、
Φ(x+dx)=Φ(x)+(AμΦ(x))dxμ
だから、U(x)で回してやったら、同様にU(x+dx)を掛けてやって、
dΦ'(x) = U(x+dx)(Φ(x) + AμΦ(x))dxμ - Φ(x)
= U(x)(AμΦ(x))dxμ + dUΦ(x)
= U(x)Aμ(U(x)^-1)dxμ Φ'(x) + ∂μU(x)(U(x)^-1)dxμ Φ'(x)
新しい接続をA'μであらわしてやると、
A'μ = U(x)Aμ(U(x)^-1) + ∂μU(x)(U(x)^-1)
と、リー代数の元だけずれる。第一項は相似変換であるから、Aμがリー代数の元ならリー代数の元に移す。
こうして、任意の量子場の空間の接続は、自明な接続とゲージ変換U(x)で移れる限り、またまたリー代数の元となる。
問題は、どんな接続も自明な接続に移れるかだが、
で、ある接続が与えられたとしたら、各点各点で回してやって向きをそろえてやれば、問題ないでしょう。
問題は、向きをそろえたときに、U(x)がどっかで不連続になる場合。
多分、こういうときに位相的な相転移が起こって、フェルミオン数とかが変わるんじゃまい。
まあ、こんなところで。
今日は学校行く前に、Civ4を速さ”マラソン”で始めたら、ひどい目にあった。
もちろん、ゲームはすばらしかった。
我がフリードリヒ大王率いるドイチュ帝國は、エジプト、スペインを始めとしてつぎつぎとライバルを撃破し、ついには世界の半分以上にわたる大帝国を築き上げ、その領土は(現実と違って)日の沈まぬ帝國となったり、制覇勝利をなしたのであった。
犠牲は多かった。しかし、耐え難きを耐え、忍び難きを忍びである。
たとえば、私の学校へ行く時間とか、飯食う時間とかさまざまなものが犠牲になった。
ようするに、朝から今までやってたんである。
OTL。。。。
※この駄文を読む方がいたら、微分幾何とゲージ場の理論を多少知っておられる幸せになれるのではないかと思います。
さて、
ゲージ変換とは、接続とはなんだろうかと考えていたが、
これらはなんとか繋ぐことができそうだ。
イメージとしてはこんな感じ。
・一斉ゲージ変換：ほんとに何もしない。単なる基底の取替え。
・局所ゲージ変換：ゲージ空間の実空間上の繋がり方を変える。接続を変える！
・接続：自分のとこ(x)にあるゲージ空間とお隣(x+dx)にあるゲージ空間との繋がりを与える。
ゲージ変換とは、ある多自由度の波動関数の空間{Φ(i)}i=1〜n
での回転を表している。
そして、その回転の自由度は現実の物理には現れてこない。
つまり、変換に対し、Lagrangian L=1/2 |∇μΦ|^2-m/2 |Φ|^2 +tr(FF)
は変わらないということだ。
ここで注意すべきなのが、∇μが接続であるということ。
これは考えている場がバンドルであるので入れなければならない（と思う。）
つまり、各点の場の空間同士のつながりが”自明でない”可能性があるので微分は共変微分でないといけない。でなければ方向微分にならない。
結局、現実には"量子場の"回転の自由度という余分な自由度が付け加わっている。
この自由度は(物理が変わらないから)観測することができないが、量子場を空間の中でで”平行移動で回して”その「歪み」を観測することはできる。
この歪みこそが場の強さFであり、微分幾何でいえば曲率Rとなる。
で、そもそも考え始めた疑問はなんだったかというと、
Mukhanovで、ゲージ場Aμがゲージ変換群Gのリー環だ、と書いてあったのがよく分からなかった。
そもそも、微分にAμを足す心が実はいまだによく分かっていないのが問題だったのだ。
つまり、もともと、ゲージ場はΦ(i)が"局所"ゲージ変換で変わってもLagrangianが不変なように、
微分をただの偏微分∂μからDμ＝∂μ + ieAμと付け加えたものだ。
初めて習った当時は、こんなのから電磁場が出るんだーへーすげー。
とか感動していたけど、よく考えると結構適当感がある。
付け加えるとか、何をしているのかよく分からない。
しかし、これを微分幾何の心で見てみよう。
まずは微分幾何の復習から。
多様体Mの上で方向微分の集合を考えることで各点p毎に接ベクトル空間TpMが張れた。
この時点ではある点接空間とお隣の接空間はそれぞればらばらに定義されていてつながり方は決まっていない。
つまり、ある点(x)での接ベクトルを"平行移動"したら、隣の点(x+dx)でどんなベクトルになるかは、
「別途」決めなくてはいけない。
この「つながり方」と「平行移動」の決め方が曲者で、ちゃんと平行移動しているように見えるようににつながないといけない。
それが、接続である。
接続∇は、TpM×TpMからTpMへの双線形写像で微分の法則(ライプニッツ則)を満たすもの。
この接続が方向微分の一般化つまり、平行移動の一般化になっている。
時空が平坦ならばこの接続は普通の方向微分∂μでいい。
実は、この接続∇はこの性質だけでは一意に決まらない。
なにが余分なのかは前回議論したとおりよく分からないが、今回はそれは置いておく。
で、時空が曲がっている場合、接続∇はただの方向微分∂μからずれる。
その双線形性から、「ずれ」は基底がどうずれるのかから全て決定できる。
つまり、ベクトル空間の基底を｛Eμ｝とすると、
「Eμの方向へEνを動かしたら、Eλの方向へどれだけずれるか」
という情報だけで接続が書ける。これをΓλμνと書くと、(λは上付きな気分)
Γλμν ＝ （Eλ、∇(Eν)Eμ） ※（、）は内積。
となる。
ここで注意してほしいのは、Γλμνのうちのλとν。
これは、基底の変換行列になっている。(νをλに変える)
だから、4×4の正方行列(空間次元)を使って、Γμと書こう。（太字は行列だという気持ち）
すると、∇＝∂μ＋Γμ と書ける。
ゲージ場っぽくなってきたと思う。
とここまでは、普通の微分幾何の話。
話をゲージ理論に戻そう。
今までは、接空間を接空間に沿って移動したらどう回るかという話。
今からは、波動関数の空間Xｐ｛Φ(i)｝を接空間に沿って(←ここ重要)移動したらどう回るかという話。
つまり、接続（みたいなもの）としては、
TpM×TpM→TpM
が、
Xｐ×TpM→Xp
になる。
Xｐは実空間からまったく浮いた空間なので、今回の接続は空間の幾何とはまったく関係ない。
すくなくとも、さっきの接続とは独立にきまる。
いま、Xpだけがあるとすると、状況はTpMだけが与えられたときと同じである。
つながり方、平行移動の仕方を決めなきゃいけない。
さっきの接続は、空間の曲がりとは独立に決めることはできなかったが今回はまったく自由である。
さっきと同じ様につながり方はΓμで決まる。
ただし、今回基底は実空間の基底{Eμ}とXｐの基底｛Φ(i)｝が必要で、
Γμは、ｎ×ｎ(波動関数の成分の次元)行列。
成分で書けば、Γμ＝(Γjμi) i,j=1〜n
やっとここまできた。
今回示したかったのはこの行列が、ゲージ群のリー代数になるということだった（と思う）
それを考えるにはまず、どういう接続があるかを考えてみればいい。
まず、もっとも自明なつながり。
素直に全部平行につなげる。
点xでの基底Φ(i)のお隣の点x+dxでの成分をみると同じくΦ(i)になってるような接続。
ようするに、Γμ＝0。
じゃあ、これを局所ゲージ変換U(x)∈G（GとしてU(n)を考えてる)で回してやったらどう変わるのか、
当然つながりが歪む。
Φ(x) → Φ'(x) = U（ｘ）Φ(x) と回そう。
今まで、Φ(x+dx) = Φ(x) ※Φ(x+dx)はΦ(x)をdxに平行移動してやったもの
だったのが、U(x+dx)を掛けて、
U(x+dx)Φ(x+dx) = U(x+dx)(U(x)^-1)U(x)Φ(x)
= U(x+dx)(U(x)^-1) Φ'(x)
= Φ'(x) + dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x)
左辺＝Φ'(x+dx)=Φ'(x) + dΦ'(x)
となるので、
結局、今まで平行移動のずれdΦ(x)=0だったのが、
dΦ'(x) = dU(x)(U(x)^-1)Φ'(x) のずれができる。
つまり、局所ゲージ変換で空間の繋がりがねじれた。
このとき、Γμは
Γμ = (∂μU)(U^-1)
ここで、(∂μU(x))(U(x)^-1)は、V(y)=U(y)(U(x)^-1)という単位元(y=x))を通る曲線の微分であるから、Gのリー代数の元である。
もともと、接続∇μ＝∂μ＋Aμがあったとしても、
この意味は、
Φ(x+dx)=Φ(x)+(AμΦ(x))dxμ
だから、U(x)で回してやったら、同様にU(x+dx)を掛けてやって、
dΦ'(x) = U(x+dx)(Φ(x) + AμΦ(x))dxμ - Φ(x)
= U(x)(AμΦ(x))dxμ + dUΦ(x)
= U(x)Aμ(U(x)^-1)dxμ Φ'(x) + ∂μU(x)(U(x)^-1)dxμ Φ'(x)
新しい接続をA'μであらわしてやると、
A'μ = U(x)Aμ(U(x)^-1) + ∂μU(x)(U(x)^-1)
と、リー代数の元だけずれる。第一項は相似変換であるから、Aμがリー代数の元ならリー代数の元に移す。
こうして、任意の量子場の空間の接続は、自明な接続とゲージ変換U(x)で移れる限り、またまたリー代数の元となる。
問題は、どんな接続も自明な接続に移れるかだが、
で、ある接続が与えられたとしたら、各点各点で回してやって向きをそろえてやれば、問題ないでしょう。
問題は、向きをそろえたときに、U(x)がどっかで不連続になる場合。
多分、こういうときに位相的な相転移が起こって、フェルミオン数とかが変わるんじゃまい。
まあ、こんなところで。
無題
誰につくとか特に考えていなかったが、早田さんにつくことになった、と思う。
高次元ブラックホールをいじってみるつもり。
宇宙論もいろいろ勉強してみたいけど。
今日は、こうしんでステファノの送別会。
ステファノはイタリアに帰るらしい。
私は一言も話をしていない。
そもそも英会話は苦手なので。
泉さんに、泉さんが発見したdouble ring解の中心にblackholeをおいた解を計算してみないと言われた。
比較的簡単そうだがまだやってないらしい。
とりあえず、逆散乱法を勉強してみようかと思った。
今日のお昼は後輩とご飯を食べた。
どうもつきあっている人がなかなか難しい人で今もけんかをしている。という愚痴を聞いた。
世の中ままならないものである。
高次元ブラックホールをいじってみるつもり。
宇宙論もいろいろ勉強してみたいけど。
今日は、こうしんでステファノの送別会。
ステファノはイタリアに帰るらしい。
私は一言も話をしていない。
そもそも英会話は苦手なので。
泉さんに、泉さんが発見したdouble ring解の中心にblackholeをおいた解を計算してみないと言われた。
比較的簡単そうだがまだやってないらしい。
とりあえず、逆散乱法を勉強してみようかと思った。
今日のお昼は後輩とご飯を食べた。
どうもつきあっている人がなかなか難しい人で今もけんかをしている。という愚痴を聞いた。
世の中ままならないものである。
